Was hat es mit diesem ominösen Grenzwert auf sich?

Wenn ich auf eine Wand losgehe, mit dem festen Willen, durch sie hindurchzukommen,
werde ich mir eine Beule am Kopf holen, das geht nicht.

Die Wand stellt also einen Grenzwert dar.

Ich kann auch eine andere Strategie wählen.
Ich nähere mich der Wand mit der Funktion 1/x an.

Also nach einer Sekunde 1 Meter,
nach zwei Sekunden 1/2 Meter,
nach drei Sekunden 1/3 Meter,
und nach 100 Sekunden bin ich 1/100 Meter von der Wand entfernt,
usw usw.

Diesmal werde ich mir keine Beule am Kopf holen, denn ich erreiche die Wand niemals.
Gleichzeitig bleibe ich immer in Bewegung,
und ich nähere mich der Wand immer weiter an.
Der Abstand zwischen mir und der Wand wird mit der Zeit unendlich klein, aber niemals gleich NULL.
Das nennt sich asymptotisches annähern.

Auch in diesem Fall ist die Wand ein Grenzwert.

Ein Grenzwert ist also etwas, dem man sich unendlich klein annähert.
Aber es ist nicht vorgeschrieben, daß man den Grenzwert überhaupt erreicht.
Aber verboten ist es auch nicht.
Man darf den Grenzwert erreichen, muß aber nicht.

Wozu sind Grenzwerte überhaupt gut,
wofür braucht man die?

Man kann über den Grenzwert die Punktsteigung an einer Funktion F(x) ermitteln.
Die Punktsteigung ergibt sich im Grunde aus b=a.
Das wäre dann F(b)-F(a)/b-a=0/0
Da 0/0 undefiniert ist, muß man also einen Grenzwert bilden.

Man nimmt also den Quotient F(b)-F(a)/b-a und bekommt eine Sekante.
Eine Sekante ist eine Linie, die die Funktion F(x) an zwei Stellen schneidet.
Und nun läßt man b gegen a laufen.

Das nennt sich auch „Limes b gegen a“.
(Limes aus dem lateinischen, bedeutet Grenze)

Wenn man diesen Grenzwert bildet, wird aus der Sekante eine Tangente.
Eine Tangente ist das, was passiert, wenn man eine Glasplatte auf eine Glaskugel legt.
Die Glasplatte wird diese Glaskugel tangential nur an einem einzigen Punkt berühren.

Auf der nächsten Seite erkläre ich die Potenzregel.
Hier wird erklärt, wie man an diese Tangente für jede Potenzfunktion herankommt.

Veröffentlicht am 6.1.2023
© 2023 Matthias Heller