Wie sieht es aus mit der Potenzregel?
Die einfachste und grundsätzlichste Regel in der Integralrechnung ist die Potenzregel.
Die sollte jeder kennen, und vorwärts und rückwärts können.
Sie lautet:
Wenn F(x)=xn dann ist die Ableitung f(x)=nx(n-1)
(Ich betrachte hier nur ganzzahlige n>0)
Es gilt:
An der Stelle x hat die Funktion F(x) die Steigung f(x)
Und es gilt:
Für die Grenzen a bis b folgt
F(b)-F(a)=Fläche unter der Funktion f(x) in den Grenzen a bis b.
Beispiele:
F(x)=x64
Es folgt f(x)=64x63
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist also 64
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0
F(x)=5*x2
Es folgt f(x)=5*2*x=10*x
Faktoren bleiben unverändert
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 10
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0
F(x)=5
Es gilt f(x)=0
Konstanten werden zu Null
Die Steigung der Funktion F(x) für alle x ist immer 0
F(x)=3*x50+x33+x10+5
Es folgt f(x)=150*x49+33x32+10x9
Summanden werden seperat abgeleitet
F(x)=x12+x6+x3+4
Es folgt f(x)=12x11+6x5+3x2
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 21
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0
F(x)=x44+x22+x4+5
Es folgt f(x)=44x43+22x21+4x3
Also f(1)=44+22+4=70
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 70
Welche Steigung hat F(x)=5*x3 an der Stelle 5?
Es gilt f(x)=15*x2
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 5 ist 15*25=375
Jetzt eine Fläche:
F(x)=xn
Die Ableitung ist also f(x)=n*xn-1
Aufgabe:
Wie groß ist die Fläche unter der Funktion f(x)=n*xn-1 in den Grenzen 0 bis 1?
(Randbedingung ganzzahlige n>0)
Antwort:
Das Integral in den Grenzen 0 bis 1 ergibt:
F(b)-F(a)=F(1)-F(0)=1-0=1
Das Resultat ist also:
Die Fläche unter der Funktion f(x)=n*xn-1 in den Grenzen 0 bis 1 ist immer 1.
D.h. in den Grenzen 0 bis 1 haben die Funktionen
f(x)=2*x
f(x)=3*x2,
f(x)=10*x9 und
f(x)=155*x154
f(x)=1000*x999
f(x)=773456*x773455
die Fläche 1
(Hinweis:
Einheiten habe ich weggelassen.
Wer ein x-y-Koordinatensystem hat, daß in Meter beschriftet ist,
bekommt dann als Fläche 1 Quadratmeter)
Veröffentlicht am 6.1.2023
© 2023 Matthias Heller