Integral4

Potenzregel

Wie sieht es aus mit der Potenzregel?

Die einfachste und grundsätzlichste Regel in der Integralrechnung ist die Potenzregel.
Die sollte jeder kennen, und vorwärts und rückwärts können.

Sie lautet:
Wenn F(x)=xn dann ist die Ableitung f(x)=nx(n-1)
(Ich betrachte hier nur ganzzahlige n>0)


Es gilt:
An der Stelle x hat die Funktion F(x) die Steigung f(x)

Und es gilt:
Für die Grenzen a bis b folgt
F(b)-F(a)=Fläche unter der Funktion f(x) in den Grenzen a bis b.


Beispiele:

F(x)=x64
Es folgt f(x)=64x63
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist also 64
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0

F(x)=5*x2
Es folgt f(x)=5*2*x=10*x
Faktoren bleiben unverändert
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 10
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0

F(x)=5
Es gilt f(x)=0
Konstanten werden zu Null
Die Steigung der Funktion F(x) für alle x ist immer 0

F(x)=3*x50+x33+x10+5
Es folgt f(x)=150*x49+33x32+10x9
Summanden werden seperat abgeleitet

F(x)=x12+x6+x3+4
Es folgt f(x)=12x11+6x5+3x2
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 21
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0

F(x)=x44+x22+x4+5
Es folgt f(x)=44x43+22x21+4x3
Also f(1)=44+22+4=70
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 70

Welche Steigung hat F(x)=5*x3 an der Stelle 5?
Es gilt f(x)=15*x2
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 5 ist 15*25=375

Jetzt eine Fläche:

F(x)=xn
Die Ableitung ist also f(x)=n*xn-1

Aufgabe:
Wie groß ist die Fläche unter der Funktion f(x)=n*xn-1 in den Grenzen 0 bis 1?
(Randbedingung ganzzahlige n>0)

Antwort:
Das Integral in den Grenzen 0 bis 1 ergibt:
F(b)-F(a)=F(1)-F(0)=1-0=1

Das Resultat ist also:
Die Fläche unter der Funktion f(x)=n*xn-1 in den Grenzen 0 bis 1 ist immer 1.

D.h. in den Grenzen 0 bis 1 haben die Funktionen

f(x)=2*x

f(x)=3*x2,

f(x)=10*x9 und

f(x)=155*x154

f(x)=1000*x999

f(x)=773456*x773455

die Fläche 1

(Hinweis:
Einheiten habe ich weggelassen.
Wer ein x-y-Koordinatensystem hat, daß in Meter beschriftet ist,
bekommt dann als Fläche 1 Quadratmeter)




Veröffentlicht am 6.1.2023
© 2023 Matthias Heller