Wie sieht es aus mit der Potenzregel?

Die einfachste und grundsätzlichste Regel in der Integralrechnung ist die Potenzregel.
Die sollte jeder kennen, und vorwärts und rückwärts können.

Sie lautet:
Wenn F(x)=xⁿ dann ist die Ableitung f(x)=nx^(n-1)
(Ich betrachte hier nur ganzzahlige n>0 und es wird definiert 0⁰=1)

Es gilt:
An der Stelle x hat die Funktion F(x) die Steigung f(x)

Und es gilt:
Für die Grenzen a bis b folgt
F(b)-F(a)=Fläche unter der Funktion f(x) in den Grenzen a bis b.

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Beispiele und Übungen

F(x)=x⁶⁴
Es folgt f(x)=64x⁶³
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist also 64
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0
Die Fläche unter der Funktion f(x) in den Grenzen 0 bis 1 ist 1

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F(x)=5*x²
Es folgt f(x)=5*2*x=10*x
Faktoren bleiben unverändert
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 10
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0
Die Fläche unter der Funktion f(x) in den Grenzen 0 bis 1 ist 5

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F(x)=5
Es gilt f(x)=0
Konstanten werden zu Null
Die Steigung der Funktion F(x) für alle x ist immer 0
Die Fläche unter der Funktion f(x) ist in beliebigen Grenzen immer 0

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F(x)=3*x⁵⁰+x³³+x¹⁰+5
Es folgt f(x)=150*x⁴⁹+33x³²+10x⁹
Summanden werden seperat abgeleitet

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F(x)=x⁶+x⁵+x⁴+4
Es folgt f(x)=6*x⁵+5*x⁴+4*x³
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 15
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 0 ist 0
Die Fläche unter der Funktion f(x) in den Grenzen 0 bis 1 ist 3

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F(x)=x⁴⁰+x²⁰+x⁴+5
Es folgt f(x)=40*x³⁹+20*x¹⁹+4*x³
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 1 ist 64
Die Fläche unter der Funktion f(x) in den Grenzen 0 bis 1 ist 3

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F(x)=2*x³
Es gilt f(x)=6*x²
Die Steigung der Funktion F(x) an der Stelle 2 ist 24
Die Fläche unter der Funktion f(x) in den Grenzen 0 bis 1 ist 2

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F(x)=xⁿ
Die Ableitung ist also f(x)=n*x^n-1

Aufgabe:
Wie groß ist die Fläche unter der Funktion f(x)=n*x^n-1 in den Grenzen 0 bis 1?
(Randbedingung ganzzahlige n>0)

Antwort:
Das Integral in den Grenzen 0 bis 1 ergibt:
F(b)-F(a)=F(1)-F(0)=1-0=1

Das Resultat ist also:
Die Fläche unter der Funktion f(x)=n*x^n-1 in den Grenzen 0 bis 1 ist immer 1.

D.h. in den Grenzen 0 bis 1 haben die Funktionen

f(x)=2*x

f(x)=3*x²,

f(x)=10*x⁹ und

f(x)=155*x¹⁵⁴

f(x)=1000*x⁹⁹⁹

f(x)=773456*x⁷⁷³⁴⁵⁵

die Fläche 1

(Hinweis:
Einheiten habe ich weggelassen.
Wer ein x-y-Koordinatensystem hat, daß in Meter beschriftet ist,
bekommt dann als Fläche 1 Quadratmeter)

Veröffentlicht am 6.1.2023
© 2023 Matthias Heller