Wer Lust hat, kann sich auch noch ein paar Beweise reinziehen……
Bei diesen Beweisen geht es im wesentlichen immer um Sekanten,
die man auf einen Grenzwert zulaufen läßt (Limes h gegen 0)
Das Ergebnis ist eine Tangente, die die Punktsteigung am Punkt x darstellt.
Drei Ableitungen
Zu Anfangs werden die Ableitungen der
Funktionen f(x)=Konstante, f(x)=x und f(x)=x2 ermittelt.
Da h unter dem Bruchstrich steht, gilt h ungleich 0.
Die Produktregel
Wenn ich zwei Funktionen f(x) und g(x) habe, dann gilt für die Ableleitung:
(f*g)’=g * f’+f * g‘
Beispiel:
f(x)=x2
g(x)=x3
Es folgt: f'(x)= 2x und g'(x)=3x2
Es folgt also:
(f*g)‘ = x3*2x + x2*3x2 = 2x4 + 3x4 = 5x4
Beweis für die Produktregel:
Zunächst die diskrete Betrachtung ohne Grenzwert.
Für die diskrete Betrachtung nehme ich irgendein h.
Weil das h auch unter dem Bruchstrich steht, muß es ungleich 0 sein.
h kann 10, 100 oder zehn Milliarden sein.
Für ausnahmslos alle diese h Werte gilt folgende Gleichung:
(Hinweis: eingeschränkte Definitionsbereiche von g und f lasse ich mal außer acht)
In der Gleichung tritt zu Anfangs die Sekantensteigung der Funktion f*g in Erscheinung.
Zum Schluss haben wir dann die Sekantensteigung der Funktionen f und g in getrennten Quotienten.
Jetzt die Grenzwertbildung:
Wenn man h gegen Null laufen läßt, geht der Zähler und Nenner der Quotienten gegen NULL.
Man bekommt also einen Grenzwert in Richtung 0/0
Man sagt hier „Limes h gegen 0“
Aus Sekanten werden Tangenten.
Es folgt also (f*g)’=g * f’+f * g‘
Damit ist die Produktregel bewiesen.
Faktorenregel
(Konstante*f)’=Konstante*f‘
Beispiel:
aus f(x)=25*x4 folgt: f'(x)=25*4*x3=100*x3
Der Beweis findet über die Produktregel statt.
Die erste Funktion ist die Konstante, das ergibt abgeleitet 0.
Die zweite Funktion ist f, das ergibt abgeleitet f‘.
Also (Konstante*f)’= 0*f + Konstante*f‘ = Konstante *f‘.
Damit ist die Faktorenregel bewiesen.
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Veröffentlicht am 6.1.2023
© 2023 Matthias Heller