Integral1

Anschaulich

Wie sieht es aus mit dem Integral?

Bei der Integralrechnung stellt man sich gerne die Frage:
Woher kommt der Zusammenhang zwischen Steigung und Fläche?
Warum ist die Fläche unter einer Ableitungsfunktion gleich dem Wert der Stammfunktion.


Mir geht es um die Anschauung.
Und die Anschauung ist nicht ganz leicht herzustellen.

Ich habe versucht, auf den nächsten 5 Seiten die Infinitesimalrechnung so einfach wie nur möglich zu erklären,
so daß sie hoffentlich für die Meisten zu verstehen ist.


Meine persönliche Anschauung ist, daß ich Grenzwerte zunächst ganz weg lasse.
Der Grenzwert kommt erst ganz zum Schluss.

Ich betrachte also nur diskrete Größen und Balkendiagramme.
Das ist meine Eselsbrücke.


Ich nehme eine beliebige stetige Funktion F, und betrachte sie in den Grenzen a bis b.
(Hinweis: „Stetig“ heißt, ich zeichne eine Linie, ohne den Bleistift abzusetzen)

Dann unterteile ich den Abschnitt a bis b in gleich große ΔX Fragmente.
Kann sein, daß hier zum Schluss ein Rest bleibt.
Das letzte ΔX Fragment ist dann etwas kleiner, und bekommt die Größe des Restes.


Für a, b und ΔX lege ich folgende Randbedingungen fest,
die ab jetzt immer gelten:


Es gilt, b-a ist die Summe der ΔX Fragmente


Die Grafik stellt zwei x-y-Kordinatensysteme dar.
Im oberen Koordinatensystem die Funktion F(x).
Im unteren Koordinatensystem ein Balkendiagramm,
bei dem die Höhe eines Balken die Steigung der Funktion F(x) repräsentiert.
Dabei ist die Steigung als ΔF/ΔX definiert.
Es folgt, daß die Fläche eines Balkens ΔF ist.



Mit etwas Phantasie läßt sich aus obiger Grafik schon erkennen,
daß F(b)-F(a) die Gesamtfläche unter dem Balkendiagramm darstellt.

(Sorry für die Handskizze, ein bißchen gekrickelt, aber ich finde, man erkennt gut,
worum es geht.)


Zunächst Schritt für Schritt durchgehen:
Es gilt:


Resultat:


Das war es eigentlich schon.
Hier haben wir den Zusammenhang zwischen Steigung und Fläche!

Der Quotient ΔF/ΔX stellt eine Steigung dar.
Und das Produkt Breite mal Höhe, also (ΔF/ΔX)*ΔX=ΔF,
repräsentiert die Fläche eines Balken im Balkendiagramm.

Die Gesamtfläche unter dem Balkendiagramm ist damit F(b)-F(a)

Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, welchen Wert ich für ΔX wähle.
(Randbedingungen beachten)
Immer gilt ausnahmlos:
F(b)-F(a)=Fläche unter dem Balkendiagramm.

Alle Balkendiagramme haben die gleiche Fläche!!!!

Nochmal, weil es so wichtig ist:
Ganz gleich, ob ich das Balkendiagramm grob wähle, oder verfeinere,
alle Balkendiagramme haben die gleiche Fläche.

Grenzwertbildung ΔX gegen NULL

Wenn ich ΔX gegen NULL laufen lasse,
wird aus dem Balkendiagramm eine kontinuierliche Steigungs Funktion.
Die Anzahl der Elemente in der Summe läuft dabei gegen unendlich.

Da alle Balkendiagramme die gleiche Fläche haben, steht der Grenzwert bereits fest:

Für den Grenzwert gilt also:

Man spricht das als „Limes Delta X gegen Null“ aus.

(Hinweis:
Ein Balkendiagramm ist streng genommen keine gültige Funktion,
soll es auch gar nicht sein.
Durch die Grenzwertbildung ensteht eine gültige Funktion)

Definition

Per Definitione wurde für so eine Grenzwertsumme eine eigene Schreibweise festgelegt.

Aussprache: Das Integral der Funktion F in den Grenzen a bis b.

Der Grenzwertquotient lautet:

Dieser Quotient ist die Steigung an einem Punkt.
Dieser Quotient ist die Ableitungsfunktion.

Für die Ableitung nimmt man auch gerne F‘ (gesprochen F Strich)
Oder man nimmt den Kleinbuchstaben, also f(x) ist die Ableitung von F(x).

Diese Schreibweisen soll klar machen, daß es sich hier um einen Grenzwerte handelt.

Die geschwungene Linie im Integral ähnelt einem S, steht also für Summe,
man verwendet dieses S für Grenzwertsummen.
Für diskrete Summen nimmt man den griechischem Buchstaben Σ Sigma.
δ ist der griechische Kleinuchstabe Delta, und wird bei Grenzwertbildung verwendet,
man verwendet oft auch den lateinischen Kleinbuchstaben d.
Δ ist der griechische Großbuchstabe Delta, und repräsentiert eine diskrete Größe.

Resultate:

Es ergeben sich zwei Resultate:
a)
Über den Grenzwert bekommt man eine Ableitungsfunktion f(x) von der Funktion F(x).
Dabei ist f(x) die Steigung der Funktion F(x) am Punkt x.

b)
F(b)-F(a)=Fläche unter der Ableitungsfunktion f(x) in den Grenzen a bis b.

Geschichte:

Entdeckt wurde die „Infinitesimalrechnung“ um 1685 von Newton und Leibnitz.
Infinitesimal (Englisch) steht für unendlich klein, extremely small.




Veröffentlicht am 6.1.2023
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