Integral5

Eine Anwendung

Wofür braucht man das überhaupt?

Im Grunde sind diese ganzen Sachen aus praktischen Überlegungen heraus enstanden.
Jeder Fahrradfahrer und Autofahrer weiß:
Die Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit.
Also der Quotient Strecke/Zeit.

Wenn ich also 100 km zurücklege, und dafür eine Stunde brauche,
so bin ich im Durchschnitt die Geschwindigkeit 100 km/h gefahren.

Will man aber nicht nur die Durchschnittsgeschwindigkeit,
sondern die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt
wird es schwierig.


In Null Sekunden lege ich eine Strecke von Null Metern zurück, ganz gleich wie schnell ich bin.
Ganz gleich, ob das Auto in der Gerage steht, oder an einem Autorennen teilnimmt.
Ein Zeitpunkt ist eine Momentaufnahme von Null Sekunden.
Also kürzer als die Belichtungszeit einer Kamera, die einen kurzen Zeitraum aufnimmt,
und bei der sich die Geschwindigkeit über ein „Verwischen“ zeigt.

Zu einem Zeitpunkt lege ich also keine Strecke zurück, also Null Meter.
Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit, also Null Meter in Null Sekunden.
Rechnerisch also 0/0?
Was ist 0/0?

Gilt 0/0=1, kürzen sich die Nullen also weg?

Dann wäre 1=0/0=(2034*0)/0=2034*(0/0)=2034
Also gilt 1=2034.
Es kommt also Unsinn heraus!

Da man nicht will, daß 1=2034 gilt,
hat man das teilen durch Null verboten.
Wer es trotzdem macht, muß akzeptieren, daß 1=2034 ist.
So kommt man also nicht weiter.

Um die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt zu ermitteln,
brauche ich also einen Zeitraum und eine Strecke,
die ich in diesem Zeitraum zurücklege.
Ohne diese Umgebung um einen Zeitpunkt herum habe ich keine Chance,
…….nicht die geringste Chance……
die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt zu ermitteln.

Ich nehme also den Quotient Strecke/Zeit in der näheren Umgebung dieses Punktes,
und bilde einen Grenzwert.
Dann habe ich die Geschwindigkeit einem Punkt.
Das nennt sich ableiten.

Die Ableitung ist nichts anderes als der normale Quotient Strecke/Zeit,
nur eben an einem Punkt.

Man nimmt also die Streckenfunktion s(t)=zurückgelegte Strecke nach t Sekunden.
Und die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Ableitung von s(t).
Also v(t)=s'(t).

Die Beschleunigung ist der Quotient Geschwindigkeitsänderung pro Zeit.
Wenn ich diesen Quotienten für einen Punkt haben will, muß ich die Ableitung der Geschwindigkeit bilden.
Also a(t)=v'(t).
Es folgt also: a(t)=s“(t).
Die Beschleunigung ist also die zweite Ableitung der Streckenfunktion.

Angenommen, die Streckenfunktion ist s(t)=5*t2 m/s2.
(Anmerkung:
Die merkwürdige Einheit m/s2, also Meter durch Sekunde Quadrat,
kommt zustande, weil ich in die Variable t ja einen Sekundenwert eintrage.
Und ich will ja, daß am Ende die Sekunden verschwinden, und ein Meterwert herauskommt.
Beispiel für eine Sekunde: s(1s)=5*(1s)2 m/s2 = 5m.)


Es folgt für die Geschwindigkeit: v(t)=s'(t)= 10*t*m/s2
(Potenzregel!)
Und für die Beschleunigung folgt: a(t)=10 m/s2.

Das ist ungefähr die Erdbeschleunigung.
Also bildet obige Streckenfunktion das Verhalten eines Apfels ab, der von einem Baum fällt.

Das heißt erst über die Infinitesimalrechnung war man überhaupt imstande,
das Verhaltens eines Apfels, der vom Baum fällt, zu beschreiben.


Anmerkung:
Die mittlere Erdbeschleunigung beträgt in etwa 9,8 m/s2.
Die Erbeschleunigung ist an jeder Stelle der Erde geringfügig anders.
Mit zunehmender Höhe wird sie geringer.
Am Äquator ist sie wegen der Erdrotation
ein halbes Prozent geringer als an den Polen.
Selbst die Wasseroberfläche der Meere bildet Berge und Täler nach den
Regeln der lokalen Gravitation.
Auch auf der Raumstation ISS in 400km Höhe beträgt sie noch 8,69 m/s2
Schwerelosigkeit entsteht auf der ISS also im wesentlichen durch die Fliehkräfte.

Schlusswort

So, das war meine kleine Übersicht über die Integralrechnung.
Zu Anfangs die Grafik mit Balkendiagramm und „diskreter“ Betrachtungsweise,
um den Zusammenhang zwischen Steigung und Flächen zu veranschaulichen.
Dann die Erklärung der Schreibweisen, und dann das Thema Grenzwert.
Zum Schluss die Potenzregel, und ein praktisches Beispiel.




Veröffentlicht am 6.1.2023
© 2023 Matthias Heller