Weitere Beweise, Geschichte und Schlusswort…..
Die Potenzregel
Wenn f(x)=xn dann ist die Ableitung f'(x)=nx(n-1)
(Ich betrachte hier nur ganzzahlige n>0 und es wird definiert 00=1)
Den Beweis mache ich über Induktion.
Induktionsanfang n=1:
Wenn f(x)=x, dann ist f'(x)=1*x0=1
Der Induktionsanfang ist damit erledigt.
Induktionschritt n auf n+1:
Für den Beweis brauche ich die Produktregel,
und betrachte den Fall f(x)=xn+1
Es gilt: f(x)=xn+1=x*xn
x ist die erste Funktion, xn die zweite Funktion.
Die Ableitung von x ist 1
Und die Ableitung von xn ist nxn-1
f'(x)=xn+x*(nxn-1)=xn+nxn=(n+1)*xn
Es folgt also:
Wenn die Potenzregel für ein beliebiges n>0 gilt, gilt sie auch für n+1.
Damit ist der Induktionsschritt erledigt.
Damit ist die Potenzregel bewiesen.
Additionsregel
(f+g)’=f’+g‘
Beispiel:
f(x)=x5+x3+x
Es folgt:
f'(x)=5x4+3x2+1
Beweis der Additionsregel:
Zunächst die diskrete Betrachtung ohne Grenzwert.
h darf hier nicht Null sein, da durch Null teilen nicht erlaubt ist.
Für alle h ungleich 0 gilt:
Zu Anfangs haben wir Sekantensteigung der Summenfunktion f+g an der Stelle x.
Zum Schluss die Sekantensteigung von f und g in getrennten Quotienten an der Stelle x.
Die Grenzwertbildung Limes h gegen 0 macht aus Sekanten Tangenten.
Damit folgt die Aussage:
(f+g)’=f’+g‘
Damit ist die Additionsregel bewiesen.
Geschichte:
Entdeckt wurde die „Infinitesimalrechnung“ zwischen 1670 bis 1690 von
Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz.
Infinitesimal (Englisch) steht für unendlich klein, extremely small.
Schlusswort
So, das war meine kleine Übersicht über die Integralrechnung.
Zu Anfangs die Grafik mit Balkendiagramm und „diskreter“ Betrachtungsweise,
um den Zusammenhang zwischen Steigung und Flächen zu veranschaulichen.
Dann die Erklärung der Schreibweisen, und dann das Thema Grenzwert.
Dann die Potenzregel und die Produktregel, und ein praktisches Beispiel.
Zum Schluss noch ein paar Beweise.
Veröffentlicht am 6.1.2023
© 2023 Matthias Heller