Bei der Integralrechnung stellt man sich gerne die Frage:
Woher kommt der Zusammenhang zwischen Steigung und Fläche?
Warum ist die Fläche unter einer Ableitungsfunktion gleich dem Wert der Stammfunktion.
Mir geht es nicht um einen exakten Beweis, bewiesen ist es längst.
Mir geht es um die Anschauung.
Und die Anschauung ist nicht ganz leicht herzustellen.
Meine persönliche Anschaung ist, daß ich Grenzwerte zunächst ganz weg lasse.
Der Grenzwert kommt erst ganz zum Schluss, sozusagen als Nebenprodukt.
Ich betrachte also nur diskrete Größen und Balkendiagramme.
Das ist meine Eselsbrücke.
Ich nehme eine beliebige stetige Funktion F, und betrachte sie in den Grenzen a bis b.
Dann unterteile ich den Abschnitt a bis b in gleich große ΔX Fragmente.
Kann sein, daß hier zum Schluss ein Rest bleibt.
Das letzte ΔX Fragment ist dann etwas kleiner, und bekommt die Größe des Restes.
Für a, b und ΔX lege ich folgende Randbedingungen fest,
die ab jetzt immer gelten:
Es gilt, b-a ist die Summe der ΔX Fragmente
Die Grafik stellt zwei x-y-Kordinatensysteme dar.
Im oberen Koordinatensystem die Funktion F(x).
Im unteren Koordinatensystem ein Balkendiagramm,
bei dem die Höhe eines Balken die Steigung der Funktion F(x) repräsentiert.
Es folgt, daß die Fläche eines Balkens ΔF ist.
Mit etwas Phantasie läßt sich aus obiger Grafik schon erkennen,
daß F(b)-F(a) die Gesamtfläche unter dem Balkendiagramm darstellt.
Sorry für die Handskizze, ein bißchen gekrickelt, aber ich finde, man erkennt gut,
worum es geht.
Zunächst Schritt für Schritt durchgehen:
Es gilt:
Resultat:
Das war es eigentlich schon.
Hier haben wir den Zusammenhang zwischen Steigung und Fläche!
Der Quotient ΔF/ΔX stellt eine Steigung dar.
Und das Produkt Breite mal Höhe, also (ΔF/ΔX)*ΔX=ΔF,
repräsentiert die Fläche eines Balken im Balkendiagramm.
Die Gesamtfläche unter dem Balkendiagramm ist damit F(b)-F(a)
Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, welchen Wert ich für ΔX wähle.
(Randbedingungen beachten)
Immer gilt ausnahmlos:
F(b)-F(a)=Fläche unter dem Balkendiagramm.
Alle Balkendiagramme haben die gleiche Fläche!!!!
Nochmal, weil es so wichtig ist:
Ganz gleich, ob ich das Balkendiagramm grob wähle, oder verfeinere,
alle Balkendiagramme haben die gleiche Fläche.
Grenzwertbildung ΔX gegen NULL
Wenn ich ΔX gegen NULL laufen lasse,
wird aus dem Balkendiagramm eine kontinuierliche Steigungs Funktion.
Die Anzahl der Elemente in der Summe läuft dabei gegen unendlich.
Da alle Balkendiagramme die gleiche Fläche haben, steht der Grenzwert bereits fest:
Für den Grenzwert gilt also:
Man spricht das als „Limes Delta X gegen Null“ aus.
Definition
Per Definitione wurde für so eine Grenzwertsumme eine eigene Schreibweise festgelegt.
Es nennt sich Integral:
Der Grenzwertquotient lautet:
Dieser Quotient ist die Steigung an einem Punkt.
Dieser Quotient ist die Ableitungsfunktion.
Für die Ableitung nimmt man auch gerne F‘ (gesprochen F Strich)
Oder man nimmt den Kleinbuchstaben, also f(x) ist die Ableitung von F(x).
Diese Schreibweisen soll klar machen, daß es sich hier um einen Grenzwerte handelt.
Die geschwungene Linie im Integral ähnelt einem S, steht also für Summe,
man verwendet dieses S für Grenzwertsummen.
Für diskrete Summen nimmt man den griechischem Buchstaben Σ Sigma.
δ ist der griechische Kleinuchstabe Delta, und wird bei Grenzwertbildung verwendet.
Δ ist der griechische Großbuchstabe Delta, und repräsentiert eine diskrete Größe.
Resultat:
Über den Grenzwert bekommt man eine stetige Ableitungsfunktion von der Funktion F.
F(b)-F(a)=Fläche unter dieser Ableitungsfunktion.
Was ist also die Eselsbrücke?
Die Eselsbrücke ist folgende Grafik………………….
(sorry, etwas gekrickelt)
…………und die sich aus dieser Grafik ergebende Summenformel für die Fläche unter dem Balkendiagramm.
Hier haben wir also den anschaulichen Zusammenhang zwischen Steigung und Fläche!
Das gilt beliebige ΔX.
(Randbendingungen beachten)
Ganz gleich, ob ich das Balkendiagramm grob wähle, oder verfeinere,
oder den Grenzwert ΔX gegen Null bilde.
Alles, was obig geschrieben wurde gruppiert sich um diese Eselsbrücke.
Für mich liefert diese Eselsbrücke die nötige Hilfe,
warum…………mit Anschauung………….. die Ableitung das Gegenteil von Flächenberechnung bildet.
Wenn man einem Dummy wie mir in der Schule die Integralrechnung auf diese Art erklärt hätte,
hätte ich sie……….wirklich, echt, richtig besser……..verstanden.
Geschichte:
Entdeckt wurde die „Infinitesimalrechnung“ um 1685 von Newton und Leibnitz.
Infinitesimal (Englisch) steht für unendlich klein, extremely small.
Was hat es mit diesem ominösen Grenzwert auf sich?
Wenn ich auf eine Wand losgehe, mit dem festen Willen, durch sie hindurchzukommen,
werde ich mir eine Beule am Kopf holen, das geht nicht.
Die Wand stellt also einen Grenzwert dar.
Ich kann auch eine andere Strategie wählen.
Ich nähere mich der Wand mit der Funktion 1/x.
Also nach einer Sekunde 1 Meter,
nach zwei Sekunden 1/2 Meter,
nach drei Sekunden 1/3 Meter,
und nach 100 Sekunden bin ich 1/100 Meter von der Wand entfernt,
usw usw.
Diesmal werde ich mir keine Beule am Kopf holen, denn ich erreiche die Wand niemals.
Gleichzeitig bleibe ich immer in Bewegung,
und ich nähere mich der Wand immer weiter an.
Der Abstand zwischen mir und der Wand wird mit der Zeit unendlich klein, aber niemals gleich NULL.
Das nennt sich asymptotisches annähern.
Auch in diesem Fall ist die Wand ein Grenzwert.
Ein Grenzwert ist also etwas, dem man sich unendlich klein annähert.
Aber es ist nicht vorgeschrieben, daß man den Grenzwert überhaupt erreicht.
Aber verboten ist es auch nicht.
Man darf den Grenzwert erreichen, muß aber nicht.
Wofür braucht man das überhaupt?
Im Grunde sind diese ganzen Sachen aus praktischen Überlegungen heraus enstanden.
Jeder Fahrradfahrer und Autofahrer weiß:
Die Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit.
Also der Quotient Strecke/Zeit.
Wenn ich also 100 km zurücklege, und dafür eine Stunde brauche,
so bin ich im Durchschnitt die Geschwindigkeit 100 km/h gefahren.
Will man aber nicht nur die Durchschnittsgeschwindigkeit,
sondern die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt
wird es schwierig.
Wenn ich einen Punkt auf ein Blatt Papier male, welche Steigung hat dieser Punkt?
In Null Sekunden lege ich eine Strecke von Null Metern zurück, ganz gleich wie schnell ich bin.
Ganz gleich, ob das Auto in der Gerage steht, oder an einem Autorennen teilnimmt.
Ein Zeitpunkt ist eine Momentaufnahme von Null Sekunden.
Also kürzer als die Belichtungszeit einer Kamera, die einen kurzen Zeitraum aufnimmt,
und bei der sich die Geschwindigkeit über ein „Verwischen“ zeigt.
Zu einem Zeitpunkt lege ich also keine Strecke zurück, also Null Meter.
Geschwindigkeit ist Strecke pro Zeit, also Null Meter in Null Sekunden.
Rechnerisch also 0/0?
Was ist 0/0?
Gilt 0/0=1, kürzen sich die Nullen also weg?
Dann wäre 1=0/0=(2034*0)/0=2034*(0/0)=2034
Also gilt 1=2034.
Es kommt also Unsinn heraus!
Da man nicht will, daß 1=2034 gilt,
hat man das teilen durch Null verboten.
Jeder Taschenrechner zeigt hier Error.
So kommt man also nicht weiter.
Um die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt zu ermitteln,
brauche ich also einen Zeitraum und eine Strecke,
die ich in diesem Zeitraum zurücklege.
Ohne diese Umgebung um einen Zeitpunkt herum habe ich keine Chance,
…….nicht die geringste Chance……
die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt zu ermitteln.
Ich nehme also den Quotient Strecke/Zeit in der näheren Umgebung dieses Punktes,
und bilde einen Grenzwert.
Dann habe ich die Geschwindigkeit einem Punkt.
Das nennt sich ableiten.
Die Ableitung ist nichts anderes als der normale Quotient Strecke/Zeit,
nur eben an einem Punkt.
Man nimmt also die Streckenfunktion s(t)=zurückgelegte Strecke nach t Sekunden.
Und die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Ableitung von s(t).
Also v(t)=s'(t).
Die Beschleunigung ist der Quotient Geschwindigkeitsänderung pro Zeit.
Wenn ich diesen Quotienten für einen Punkt haben will, muß ich die Ableitung der Geschwindigkeit bilden.
Also a(t)=v'(t).
Es folgt also: a(t)=s“(t).
Die Beschleunigung ist also die zweite Ableitung der Streckenfunktion.
Angenommen, die Streckenfunktion ist s(t)=5*t2 m/s2.
(Anmerkung:
Die merkwürdige Einheit m/s2, also Meter durch Sekunde Quadrat,
kommt zustande, weil ich in die Variable t ja einen Sekundenwert eintrage.
Und ich will ja, daß am Ende die Sekunden verschwinden, und ein Meterwert herauskommt.
Beispiel für eine Sekunde: s(1s)=5*(1s)2 m/s2 = 5m.)
Es folgt für die Geschwindigkeit: v(t)=s'(t)= 10*t*m/s2
(Potenzregel!)
Und für die Beschleunigung folgt: a(t)=10 m/s2.
Das ist ungefähr die Erdbeschleunigung.
Also bildet obige Streckenfunktion das Verhalten eines Apfels ab, der von einem Baum fällt.
Das heißt erst über die Infinitesimalrechnung war man überhaupt imstande,
das Verhaltens eines Apfels, der vom Baum fällt, zu beschreiben.
Noch ein Beispiel
Für F(x)=xn gilt die allgemeine Potenzregel:
Die Ableitung lautet:
(δF/δX)(x)=f(x)=n*xn-1.
Aufgabe:
Wie groß ist die Fläche unter der Funktion f(x)=n*xn-1 in den Grenzen 0 bis 1?
(Randbedingung n>0 und ganzzahlig)
Antwort:
Das Integral in den Grenzen 0 bis 1 ergibt:
F(b)-F(a)=F(1)-F(0)=1-0=1
Das Resultat ist also:
Die Fläche unter der Funktion f(x)=n*xn-1 in den Grenzen 0 bis 1 ist immer 1.
D.h. in den Grenzen 0 bis 1 haben die Funktionen
f(x)=3*x2,
f(x)=10*x9 und
f(x)=155*x154
f(x)=6435*x6434
die Fläche 1.
Veröffentlicht am 6.1.2023
© 2023 Matthias Heller